8. Syntéza jednorozměrových diskrétních regulačních obvodů

Syntézou regulačního obvodu rozumíme návrh struktury regulátoru a jeho parametrů tak, aby byla dosažena požadovaná kvalita regulačního pochodu.

8.1 Malá, střední a velká vzorkovací perioda

Při analýze a syntéze (návrhu regulátoru) diskrétních regulačních obvodů vycházíme ze tří přístupů dle velikosti vzorkovací periody.

a) Pro malé vzorkovací periody T

Jak z názvu vyplývá tento přístup je možno uvažovat při malé vzorkovací periodě, převodník bereme jako součást regulátoru.

Malou vzorkovací periodu T můžeme definovat dle vztahů [Balátě, 2003]:

(8.1)
(8.2)
Obr. 8. 1 Blokové schéma regulačního obvodu s kvazianalogovým regulátorem

Tento přístup je velice častý a je užívám v 80% případů, kdy diskrétní regulační obvod převádíme na spojitý regulační obvod.

Na obr. 1. 2 je vidět, že při malé vzorkovací periodě může být tvarovaná akční veličina nahrazena spojitou akční veličinou , která bude zpožděná o polovinu vzorkovací periody, tzn. . Toto nahrazení je tedy tím lepší, čím je menší vzorkovací perioda T.

Díky tomuto faktu je možno původní regulační obvod s číslicovým regulátorem na obr. 8. 1 nahradit náhradním blokovým schématem, kdy přenos regulátoru bude obsahovat dopravní zpoždění o velikosti , resp.

(8.3)

Prakticky se však toto dopravní zpoždění přiřazuje regulované soustavě, viz obr. 8. 2.

Obr. 8. 2 Náhradní blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

Jestliže se při analýze nebo syntéze tohoto náhradního regulačního obvodu použije metoda nevhodná pro práci s dopravním zpožděním je možno provést aproximaci (nahrazení přibližnou hodnotou) tohoto dopravního zpoždění dle vztahů

(8.4)
(8.5)

Při použití této aproximace je nutné mít na paměti, že se jedná o přibližný přístup.

Příklad 8.1

Navrhněte regulátor pro soustavu danou přenosem . Regulátor navrhněte nejprve pro vzorkovací periodu T = 0 s a poté pro použití s malou vzorkovací periodou T = 0,5 s. Syntézu proveďte pomocí metody požadovaného modelu (viz kapitola 8.2). Relativní překmit požadujeme okolo 5 %.

Řešení:

Obr. 8. 3 Přechodová charakteristika z příkladu 8.1

Závěr:

Jak je vidět dle obr. 8. 3, že průběh regulace odpovídá požadavkům. Při použití regulátoru PI byl při simulaci určen relativní překmit . Při seřizování regulačního obvodu pro použití PS regulátoru jsme stavitelné parametry nastavovali jako pro spojitý PI regulátor, ale soustava měla dopravní zpoždění větší o . V regulačním obvodu je poté pro vypočtené hodnoty použit regulátor typu PS. Pokud použijeme regulátor PS je relativní překmit . Simulační model je k dispozici v sekci Download.

b) Pro střední vzorkovací periody T

Tento přístup je možno uvažovat při střední vzorkovací periodě, převodníky jsou součástí diskrétní regulované soustavy a obvod je tedy považován za diskrétní.

Střední vzorkovací periodu T můžeme definovat dle vztahů [Balátě, 2003]:

(8.6)
(8.7)

V tomto případě využíváme při syntéze Z-transformaci.

Obr. 8. 4 Blokové schéma lineárního diskrétního regulačního obvodu

Pokud chceme provádět analýzu a syntézu takového regulačního obvodu provedeme diskretizaci přenosu soustavy. V našem případě mluvíme o tzv. přesné diskretizaci, kdy je spojitý přenos soustavy převeden na přenos v diskrétním tvaru dle vztahu (při použití vzorkovače a tvarovače 0-tého řádu)

(8.8)

V případě střední vzorkovací periody se využívají tzv. transformační vztahy.

, resp. (8.9)

Diskrétní přenos regulované soustavy transformujeme použitím transformačního vztahu (8. 9) z oblasti komplexní proměnné z do oblasti komplexní proměnné s a získáme náhradní přenos regulované soustavy .

(8.10)

Zvolíme typ spojitého regulátoru a dle metod syntézy pro spojité regulační obvody určíme hodnoty jeho stavitelných parametrů. Získaný přenos regulátoru převedeme dle transformačního vztahu (8. 9) z oblasti komplexní proměnné s do oblasti komplexní proměnné z.

(8.11)

Příklad 8.2

Pro regulovanou soustavu s přenosem navrhněte číslicový PI regulátor. Použijte postup pro seřízení diskrétních regulačních obvodů se střední vzorkovací periodou T.

Řešení:

Závěr:

Obr. 8. 6 Průběhy výstupních veličin z píkladu 8.2

c) Pro velké vzorkovací periody T

Za velkou vzorkovací periodu T považujeme takovou periodu T, která nevyhovuje podmínkám (8. 1), (8. 2), (8. 6) a (8. 7).

V tomto případě, na rozdíl od předchozích přibližných metod analýzy a syntézy diskrétních regulačních obvodů získáme přesné výsledky v okamžicích vzorkování [Balátě, 2003]. Návrhy u diskrétního regulačního obvodu se provádí pouze v oblasti komplexní proměnné z, tzn. provedeme diskretizaci soustavy a pracujeme v oblasti komplexní proměnné z. Dále je nutno podotknout, že při zvyšování vzorkovací periody dochází ve větší míře k destabilizaci diskrétního regulačního obvodu.

V kapitole 8.4 jsou uvedeny metody (návrh číslicových regulátorů přímou syntézou na konečný počet kroků a Dahlinův regulátor), které jsou vhodné pro libovolnou vzorkovací periodu T, ale z výše uvedených důvodů je lepší dodržet vztahy (8. 6) a (8. 7) pro její volbu. Regulátory navržené pomocí těchto metod nejsou standardního typu.

Obr. 8. 7 Jednorozměrový diskrétní lineární regulační obvod pro velkou vzorkovací periodu T

8.2 Metoda požadovaného modelu

Metodou požadovaného modelu (dříve metoda inverze dynamiky) je možné provádět syntézu lineárních regulačních obvodů i s dominantním dopravním zpožděním [Vítečková, 2000]. Seřízení regulátoru touto metodou zaručuje nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou polohy žádané hodnoty (tudíž také poruchy působící na výstupu regulované soustavy), což odpovídá blokovému schématu regulačního obvodu podle obr. 8. 8 [Vítečková, 1998].

Obr. 8. 8 Regulační obvod s číslicovým regulátorem a diskretizovanou soustavou

V případě této metody předpokládáme použití konvenčních regulátorů jak pro spojitou, tak i pro diskrétní regulaci, viz kapitola 3.1, tab. 8. 1.

Tab. 8. 1 Přenosy konvenčních typů regulátorů

Metoda požadovaného modelu umožňuje seřídit regulátor pro danou soustavu, tak aby byl zaručen požadovaný relativní překmit v rozsahu 0 až 50 %.

Aby bylo možné metodu požadovaného modelu použít pro seřízení regulátoru, musí být přenos regulované soustavy v jednom ze základních tvarů tab. 8. 3, jinak je nutno přenos upravit dle tab. 8. 2, nebo jiným způsobem [Vítečková, Víteček, 2006].

Zde si uvedeme některé postupy, jak získat přenosy regulovaných soustav ve tvaru vhodném pro metodu požadovaného modelu

(8.12)
(8.13)

Dopravní zpoždění , resp. regulované soustavy je buďto přirozené nebo může vzniknout aproximací setrvačnosti vyššího řádu. Koeficient je dán ustáleným stavem přechodové charakteristiky, tedy

(8.14)

kde je velikost skoku akční veličiny.

Další parametry , , , lze určit z přechodové charakteristiky soustavy (obr. 8. 9).

Obr. 8. 9 Přechodová charakteristika soustavy

Parametry určíme dle vztahů

(8.15)
(8.16)

Při identifikaci aperiodických soustav např. Strejcovou metodou [Noskievič, 1992; Švarc, Šeda, Vítečková, 2007] získáme přenos soustavy ve tvaru

(8.17)

Přenosy soustav vyššího řádu lze převést dle tab. 8. 2 v souladu se schématem

(8.18)
Tab. 8. 2 Tabulka pro převod přenosů v souladu se schématem (8. 18)

*

Metoda požadovaného modelu předpokládá, že požadovaný přenos řízení má tvar pro (diskrétní, spojité)

(8.19)

Pro regulovanou soustavu bez dopravního zpoždění je předpokládaný průběh přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu na obr. 8. 10, tedy bez relativního překmitu . V případě, že tedy soustava nemá dopravní zpoždění , pak musíme navrhnout časovou konstantu uzavřeného regulačního obvodu. Vzorkovací periodu poté volíme dle vztahu

(8.20)
Obr. 8. 10 Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu bez dopravního zpoždění

Metoda požadovaného modelu předpokládá, že požadovaný přenos řízení má tvar pro (diskrétní, spojité)

(8.21)

Pro regulovanou soustavu s dopravním zpožděním je předpokládaný průběh přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu na obr. 8. 11, tedy se zvoleným relativním překmitem v rozsahu 0 až 50 %.

Obr. 8. 11 Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním

Při práci s číslicovými regulátory je nutno určit vzorkovací periodu a to v souladu s jedním z pravidel (8. 22) a (8. 23).

(8.22)
(8.23)
Tab. 8. 3 Výpočet optimálních hodnot stavitelných parametrů regulátorů metodou požadovaného modelu (MPM)
Tab. 8. 4 Hodnoty koeficientů a pro relativní překmit pro MPM

Pro parametr a platí vztah

(8.24)

kde a jsou dány tab. 8. 4.

Příklad 8.3

Pro soustavu navrhněte číslicový regulátor pomocí metody požadovaného modelu, tak aby byl zajištěn překmit (10 %).

Řešení:

Obr. 8. 12 Přechodová charakteristika zadané a aproximované soustavy
Obr. 8. 13 Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu z příkladu 8.3

Závěr:

Jak je vidět dle obr. 8. 13 získali jsme regulační pochod, u kterého je relativní překmit vyšší než byl požadavek . Simulační model je k dispozici v sekci Download.

Příklad 8.4

Pro regulovanou soustavu s dopravním zpožděním navrhněte číslicový regulátor PS a PSD pomocí metody požadovaného modelu, tak aby byl zajištěn překmit (10 %) pro vzorkovací periodu .

Řešení:

Vzhledem k tomu, že se jedná o soustavu vyššího řádu, musíme určit náhradní přenosy ve tvaru (8. 12) a (8. 13) za použití tab. 8. 2.

Ze zadaného přenosu regulované soustavy můžeme určit: , , , .

Obr. 8. 14 Přechodová charakteristika zadané soustavy a aproximovaných soustav
Obr. 8. 15 Přechodová charakteristika zadané soustavy a aproximovaných soustav

Závěr:

Jak je vidět na průběhu regulace (obr. 8. 15) metoda požadovaného modelu dává velmi kvalitní výsledky a zároveň je dodržen požadovaný překmit 10 %. V případě PS regulátoru jsme získali relativní překmit a při použití PSD regulátoru je . Simulační model je k dispozici v sekci Download.

8.3 Metoda optimálního modulu

Metodou optimálního modulu je možné provádět syntézu lineárních regulačních obvodů, které neobsahují dopravní zpoždění. Metoda je užívaná jak pro spojité, tak i pro diskrétní regulační obvody. V případě diskrétních regulačních obvodů můžeme uvažovat regulační obvod dle obr. 8. 16 [Vítečková, Víteček, 2006] a dopravní zpoždění aproximovat dle vztahů (8. 4) nebo (8. 5).

Metoda optimálního modulu se používá v případě, když stupeň statismu je , nejčastěji však v případech kdy . Metoda je často používaná pro regulaci elektrických pohonů. Metoda optimálního modulu poskytuje relativní překmit regulované veličiny 5 %.

Obr. 8. 16 Regulační obvod s číslicovým regulátorem a diskretizovanou soustavou

Metodou optimálního modulu stejně jako metodou požadovaného modelu seřizujeme diskrétní regulátory konvenčního typu (tab. 8. 1).

Pro vybrané regulované soustavy je sestavena tab. 8. 5.

Tab. 8. 5 Hodnoty stavitelných parametrů pro metodu optimálního modulu

Při seřizování pomocí metody optimálního modulu se využívá tzv. kompenzace časových konstant, která je založena na vykrácení jednoho nebo dvou stabilních dvojčlenů regulované soustavy jedním dvojčlenem u regulátoru PI a PD nebo dvěma dvojčleny u regulátoru PID [Vítečková, Víteček, 2006].

Příklad 8.5

Pro regulovanou soustavu popsanou přenosem navrhněte číslicový regulátor pomocí metody optimálního modulu, který zajistí nulovou trvalou regulační odchylku pro skokovou změnu žádané i poruchové veličiny . Poruchová veličina vstupuje za soustavou (obr. 8. 16).

Řešení:

Viz tab. 8. 5 (1.řádek) je doporučeno použít diskrétní I regulátor. Vzorkovací periodu zvolíme T = 1 s.

Obr. 8. 17 Přechodové charakteristika regulačního obvodu seřízeného pomocí metody optimálního modulu z příkladu 8.5

Závěr:

Jak je vidět dle průběhu přechodové charakteristiky, získali jsme regulační pochod požadované kvality, tedy s relativním překmitem okolo 5 %. Simulační model je k dispozici v sekci Download.

Příklad 8.6

Pro regulovanou soustavu popsanou přenosem navrhněte číslicový regulátor pomocí metody optimálního modulu, který zajistí nulovou trvalou regulační odchylku pro skokovou změnu žádané w i poruchové veličiny v. Poruchová veličina vstupuje za soustavou (obr. 8. 16).

Řešení:

Viz tab. 8. 5 (3.řádek) je doporučeno použít diskrétní PI regulátor. Vzorkovací periodu zvolíme T = 1 s.

Závěr:

Jak je vidět dle průběhu přechodové charakteristiky obr. 8. 18, získali jsme regulační pochod požadované kvality, tedy s relativním překmitem okolo 5 %. Simulační model je k dispozici v sekci Download.

Obr. 8. 18 Přechodové charakteristika regulačního obvodu seřízeného pomocí metody optimálního modulu z příkladu 8.6

8.4 Návrh číslicového regulátoru přímou syntézou

Při přímém návrhu regulátoru vycházíme ze schématu pro číslicový regulační obvod dle obr. 8. 19.

Obr. 8. 19 Blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

V tomto případě uvažujeme, že Č/A převodník má vlastnosti vzorkovače a tvarovače nultého řádu a dále tedy pracujeme dle obr. 8. 20 [Víteček, 2005].

Obr. 8. 20 Blokové schéma náhradního regulačního obvodu

Z-přenos regulované soustavy bude tedy mít tvar

(8.25)

Pro regulovanou soustavu popsanou přenosem

(8.26)

pro

(8.27)

získáme

(8.28)

resp.

(8.29)

Z-přenos reálné soustavy má vždy zpoždění nejméně o jednu vzorkovací periodu T viz (8. 29).

Přenos řízení diskrétního regulačního obvodu dle obr. 8. 20 je

(8.30)

Z tohoto přenosu jsme schopni určit přenos regulátoru , který má tvar

(8.31)

který zajistí požadovaný přenos řízení (8. 30) pro regulovanou soustavu .

Můžeme tedy říci, že pokud požadujeme přenos řízení ve tvaru

(8.32)

zajistí jej regulátor daný přenosem

(8.33)

Rovnice (8. 33) se nazývá rovnice syntézy (sythesis equation).

V závislosti na požadovaném přenosu řízení obdržíme různé regulátory. Dva z těchto regulátorů jsou:

8.4.1 Regulátor na konečný počet kroků

Tento typ regulátoru umožňuje při skokové změně žádané veličiny ukončit přechodový děj za dobu . Pro regulovanou soustavu (8. 26) to tedy znamená ukončení procesu za kroků.

Tento požadavek je tedy definován přenosem řízení ve tvaru

(8.34)

Pokud tedy uvažujeme vztahy (8. 29) a (8. 33) získáme přenos regulátoru na konečný počet kroků daný vztahem

(8.35)

resp.

(8.36)

Průběh přechodové charakteristiky je na obr. 8. 21.

Obr. 8. 21 Přechodová charakteristika pro regulaci na konečný počet kroků

Průběh akční veličiny získáme dle

(8.37)

Průběh akční veličiny je na obr. 8. 22

Obr. 8. 22 Průběh akční veličiny pro regulaci na konečný počet kroků

Přechodová charakteristika má zjevně ideální průběh, ale nevýhodou této metody je, že je málo robustní vůči změnám hodnoty dopravního zpoždění .

Příklad 8.7

Pro regulovanou soustavu popsanou přenosem navrhněte číslicový regulátor na konečný počet kroků pro vzorkovací periodu T = 2 s.

Řešení:

Obr. 8. 23 Přechodové charakteristika regulačního obvodu seřízeného metodou regulace na konečný počet kroků příkladu 8.7
Obr. 8. 24 Průběh akční veličiny z příkladu 8.7

Simulační model je k dispozici v sekci Download.

8.4.2 Dahlinův regulátor

V případě Dahlinova regulátoru předpokládáme, že požadovaný Z-přenos řízení má tvar

(8.38)

Tento přenos řízení odpovídá požadovanému L-přenosu řízení

(8.39)

Uvažujeme-li regulovanou soustavu popsanou přenosem

(8.40)

a přenos řízení (8. 38), můžeme tedy dle rovnice syntézy (8. 33) psát s uvažováním vztahu (8. 29)

(8.41)

Průběh přechodové charakteristiky je zobrazena na obr. 8. 25.

Obr. 8. 25 Přechodová charakteristika pro regulaci pomocí Dahlinova regulátoru

Průběh akční veličiny (obr. 8. 26) získáme dle vztahu

(8.42)
Obr. 8. 26 Průběh akční veličiny pro Dahlinův regulátor

Výhodou této metody je, že oproti metodě návrhu regulátoru na konečný počet kroků je Dahlinův regulátor mnohem více robustní vůči změnám .

Nepříjemným jevem je tzv. zvonění (klepání) akční veličiny , resp. . Tento jev je způsoben záporným pólem regulátoru blízkým -1 v komplexní rovině z. Tento bod označujeme jako uzel zvonění.

U Dahlinova regulátoru je toto zvonění způsobeno nevhodnou volbou časové konstanty regulačního obvodu při dané vzorkovací periodě T. Rovnice syntézy pak má tvar

(8.43)

kde

Například pro a získáme

(8.44)

Pól regulátoru způsobuje zmíněné zvonění (obr. 8. 27a), které se však na průběhu nemusí projevit.

Obr. 8. 27 Průběh akční veličiny a) zatížený zvoněním, b) kompenzované zvonění

Tento tzv. zvonící pól může způsobit rychlejší opotřebení akčního orgánu. Odstraněn může být dosazením do dvojčlenu za , tzn. zastoupením vztahu jeho ustálenou hodnotou. Např. pro (8. 44) získáme (obr. 8. 27b)

(8.45)

Příklad 8.8

Pro regulovanou soustavu popsanou přenosem jako v příkladu 8.7, tedy navrhněte Dahlinův číslicový regulátor pro vzorkovací periodu T = 2 s. Pomocí simulace byla zjištěna konstanta pro danou soustavu a to .

Řešení:

Obr. 8. 28 Přechodové charakteristika regulačního obvodu seřízeného pomocí Dahlinova regulátoru z příkladu 8.8
Obr. 8. 29 Průběh akční veličiny z příkladu 8.8

Simulační model je k dispozici v sekci Download.