1. Úvod do číslicové regulace

1.1 Význam číslicové regulace

V současném rozmachu číslicové techniky také dochází k stále častějšímu využívání číslicových regulátorů. Regulace vstupuje do našich životů v nejrůznějších formách. Ať už se jedná o přístroje, které využíváme v domácnosti či při výrobě v nejrůznějších závodech. V případě tohoto učebního textu se zaměříme na číslicové regulátory, které v diskrétní formě realizují stejné algoritmy jako analogové regulátory.

V našem případě budou pojmy jako je číslicový (diskrétní v úrovni i v čase) a diskrétní (spojitý v úrovni a diskrétní v čase) považovány za totožné neboť kvantizační chybu považujeme za zanedbatelnou [Vítečková, Víteček, 2006].

1.2 Schéma a popis číslicového regulačního obvodu

Číslicový regulační obvod je takový obvod, ve kterém alespoň jedna veličina má tvar posloupnosti diskrétních hodnot vytvářených v pravidelně se opakujících okamžicích označovaných jako perioda T.

Na obr. 1. 1 je znázorněno blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem.

Značení bloků:

• ČR – číslicový regulátor,
• A/Č – analogově-číslicový převodník,
• S – regulovaná soustava,
• Č/A – číslicově-analogový převodník.

Značení veličin:

• – žádaná veličina,
• – regulační odchylka,
• – diskrétní akční veličina,
• – tvarovaná akční veličina,
• – poruchová veličina,
• – regulovaná (výstupní) veličina,
• – vzorkovací perioda.

Regulovanou soustavu vždy považujeme za spojitou. O převod spojité (analogové) veličiny se stará A/Č převodník. Tento převodník je obvykle zapojen ve zpětné vazbě.

Důležitou podmínkou je, že A/Č převodník musí být přesnější než Č/A. Také se dá říci, že A/Č převodník považujeme za jakýsi omezující člen, na jehož přesnosti závisí přesnost celého regulačního obvodu.

Z číslicového regulátoru vystupuje diskrétní akční veličina u(kT), která je následně Č/A převodníkem převedena na tzv. tvarovanou veličinu . Je zřejmé že můžeme tvarovanou veličinu jako spojitou veličinu se zpožděním o velikosti , tedy .Průběhy akčních veličin v číslicovém regulačním obvodu jsou na obr. 1. 2.

1.3 Z-transformace

Z-transformace je matematický aparát, který se využívá k popisu, analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů [Wittenmark, Aström, Arzen; Vítečková, 1995].

Definiční vztahy Z-transformace jsou:

	(1.1)
	(1.2)

kde

• – komplexní proměnná,
• – diskrétní reálná proměnná (diskrétní čas),
• – diskrétní originál (Z-originál),
• – diskrétní obraz (Z-obraz),
• – operátor přímé Z-transformace,
• – operátor zpětné Z-transformace,
• – vzorkovací perioda,
• – kružnice, uvnitř které leží všechny singulární body funkce X(z)

Zpětná Z-transformace se užívá, když hledáme k diskrétnímu obrazu X(z) originál x(kT).

Diskrétní časovou funkci x(kT) získáme ze spojité časové funkce x(t) zastoupením spojitého času t diskrétním časem x(kT), tzn.

(1.3)

Pro diskrétní časovou funkci se užívá ekvivalentní zápis

(1.4)

Aby diskrétní časová funkce x(kT) byla originálem, musí být:

• a) nulová pro záporné k, tzn.

(1.5)

• b) exponenciálního řádu, tzn., musí vyhovovat nerovnosti

(1.6)

Splnění první podmínky se dá zajistit stejně jako při L-transformaci vynásobením diskrétní časové funkce diskrétním Heavisideovým jednotkovým skokem, který je dán vztahem

(1.7)

Stejně jako u L-transformace zapisujeme korespondenci mezi diskrétním originálem a diskrétním obrazem ve tvaru

(1.8)

Ukážeme si souvislost mezi L-transformací, definovanou vztahem

(1.9)

a Z-transformací.

V definičním vztahu (1. 9) spojitý čas t zastoupíme diskrétním časem kT a spojitý integrál diskrétní sumou, dostaneme

(1.10)

Srovnáním vztahu (1. 10) a (1. 1) vidíme, že pro

(1.11)

bude platit

(1.12)

1.3.1 Základní vlastnosti Z-transformace

Základní vlastnosti Z-transformace jsou uvedeny v tab. 1. 1. Podrobnější jsou uvedeny např. v [Vítečková, 1995; Vítečková, 2005].

Linearita
Posunutí v časové oblasti vpravo (zpoždění)
Posunutí v časové oblasti vlevo (předstih)
Dopředná diference 1. řádu
Zpětná diference 1. řádu
Dopředná diference n-tého řádu
Zpětná diference n-tého řádu
Sumace v časové oblasti typu I – odpovídá dopředné diferenci [dopředná (pravá) obdélníková metoda]
Sumace v časové oblasti typu II – odpovídá zpětné diferenci [zpětná (levá) obdélníková metoda]
Koncová hodnota v časové oblasti

1.3.2 Ukázka ze slovníku L a Z-transformace

Pro ukázku je k dispozici výtah ze slovníku L a Z-transformace. Podrobněji např. v [Vítečková, 1995, Vítečková, 2005].

	1		1
-	-
-	-

1.3.3 Z-transformace – řešené příklady

Příklad 1.1

Určete obraz diskrétní časové funkce na obr. 1. 3.

Řešení:

Z obr. 1. 3 vyplývá, že diskrétní časová funkce x(kT) je originál. V souladu s definičním vzorcem Z-transformace, obraz je dán součtem nekonečné řady, kde u mocniny je odpovídající pořadnice diskrétní časové funkce x(kT).

Nyní zapíšeme získaný obraz X(z) v kladných mocninách komplexní proměnné z a získáme

Při srovnání průběhů x(kT) a obrazu X(z) v kladných mocninách komplexní proměnné zjistíme, že diskrétní časové funkci trvající r kroků (v našem případě r = 5) odpovídá obraz, který má r-násobný nulový pól, tzn. .

Příklad 1.2

Určete obraz diskrétní časové funkce na obr. 1. 4.

Řešení:

Jak je vidět z obou předchozích příkladů, nalezení obrazu, když známe časové pořadnice v jednotlivých diskrétních časových okamžicích je velmi jednoduché.

Příklad 1.3

Pomocí přímé Z-transformace určete obrazy diskrétních časových funkcí:

• 1.
• 2.

Řešení:

• 1. Diskrétní Diracův impuls je definován vztahy





Z-obraz diskrétního Diracova impulsu je roven 1.

• 2. Dle vztahu (1. 10) píšeme



Výraz vynásobíme .



Oba předešlé vztahy odečteme a získáme



Po úpravě je Z-obraz diskrétního Heavisideova skoku:

Příklad 1.4

Stanovte originál k funkci .

Řešení:

• Funkci upravíme tak, že jí vydělíme z.



• Nyní lze provést rozklad pravé strany na parciální zlomky a dosazovací metodou dopočítat koeficienty A, B a C parciálních zlomků.



• Za z dosadíme



• Po dosazení a úpravě získáme obraz funkce ve tvaru



• Pomocí slovníku L a Z-transformace z tab. 1. 2 provedeme zpětnou Z-transformaci podle vztahu



• a získáme originál k

Dostali jsme řešení v tzv. uzavřeném tvaru. Hodnotu můžeme dopočítat pro libovolně velké k.

Příklad 1.5

Stanovte originál k funkci .

Řešení:

• Provedeme dělení mnohočlenů.



• Nyní určíme originál k funkci



• Toto řešení je v tzv. otevřeném tvaru. Máme omezený počet hodnot originálu . Na obr. 1. 5 je grafické znázornění originálu funkce z příkladu 1.5.

Obr. 1. 5 Grafické znázornění originálu x(kT) z příkladu 1.5

1.4 Vzorkování

Signály získané měřením v reálném prostředí jsou obecně funkce spojitého času a nabývají obvykle nekonečného počtu hodnot ze spojitého intervalu. Nazývají se analogové veličiny nebo analogové signály. Záznam těchto signálů pro jejich zpracování nebo jen prostou reprodukci v číslicových systémech (analyzátorech, číslicových počítačích) nelze uskutečnit bez jejich vzorkování a kvantování. Vzorkování je tedy operace, při které je nahrazen signál se spojitým časem posloupností vzorků [Tůma, 2006].

Pro volbu vzorkovací periody T, resp. vzorkovací frekvence neexistují přesná pravidla, ale její volba do značné míry může ovlivnit kvalitu a stabilitu diskrétního regulačního obvodu a jeho vlastnosti [Balátě, 2003]. V tab. 1. 3 jsou vypsány doporučené hodnoty vzorkovací periody pro různá nasazení [Vítečková, Víteček, 2006].

Jak je vidět na obr. 1. 6 diskrétní časové funkci x(kT) odpovídá nekonečně mnoho spojitých funkcí x(t).

Dle Shannonova–Kotelnikova teorému je pro dokonalou reprodukci spojitého signálu při převodu z číslicového tvaru nutné, aby vzorkovací frekvence byla minimálně dvakrát větší než maximální frekvence ve spektru měřeného signálu jak je uvedeno v rovnici (1. 13).

(1.13)

Diskrétní časovou funkci x(kT) ze spojité časové funkce získáme x(t) nahrazením spojitého času t diskrétním časem kT.

(1.14)

1.4.1 Vzorkovač a tvarovač

Tvarovač a vzorkovač (obr. 1. 7) převádějí spojitý signál u(t) na tvarovaný signál v podobě schodovité časové funkce na obr. 1. 2.

Obr. 1. 7 Schéma -vzorkovače a tvarovače

Tvarovač toho typu se označuje jako tvarovač nultého řádu.

Tvarovaný signál v k-tém intervalu je pomocí posunutých Heavisideových skoků dán vztahem [Víteček, 1988]

(1.15)

Jak je vidět na obr. 1. 2 celý tento výraz vyjadřuje obdélník s výškou u(kT) a šířkou T. Tvarovaný signál pro je dán vztahem

(1.16)

Po provedení Laplaceovy transformace vztahu (1. 16) získáme obraz tvarovaného signálu

(1.17)

resp.

(1.18)

(1.19)

(1.20)

Z předešlých vztahů je tedy viditelné, že samotný převod spojitého signálu u(t) na tvarovaný se dá rozdělit na vzorkování a následné tvarování. Vlastnosti tvarovače se dají popsat jeho přenosem (1. 19) a z tohoto přenosu se dá získat impulsní funkce.

(1.21)

Impulsní funkce je tedy pravoúhlý impuls s jednotkovou výškou a šířkou T.

Ideálním vzorkováním spojitého signálu u(t) získáme , který získáme zpětnou Laplaceovou transformací obrazu daného vztahem (1. 20).

(1.22)

V souladu s vlastnostmi Diracových impulsů můžeme psát

(1.23)

kde

(1.24)

Ze vztahu (1. 24) je vidět, že ideálně vzorkovaný signál lze brát jako posloupnost Diracových impulsů i(t) modulovanou spojitým signálem u(t). Dle toho tedy můžeme říct, že vzorkovač, který převádí spojitý signál u(t) na signál vzorkovaný je jakousi fyzikálně realizovatelnou matematickou fikcí a proto jej nazýváme -vzorkovačem.

Reálný vzorkovač si většinou představujeme ve formě A/Č převodníku. Pro jednoduchost většinou -vzorkovač od reálného vzorkovače nerozlišujeme. Mluvíme tedy pouze o vzorkovači, na jehož výstupu je vzorkovaný signál nebo diskrétní signál u(kT) [Víteček, 1988].