2. Matematické modely

Uvažujme lineární diskrétní systém (obr. 2. 1).

Obr. 2. 1 Lineární diskrétní systém

Stejně jak u spojitých systémů tak i u diskrétních systémů existuje několik možností způsobu vnějšího popisu chování, které vyjadřují vztah mezi výstupní veličinou y(kT) a diskrétní vstupní veličinou u(kT). Vnitřní popis chování diskrétního systému obsahuje kromě uvedených veličin i diskrétní stavové veličiny.

2.1 Popis v časové oblasti – diferenční rovnice systému

Pro popis vlastností dynamického systému v časové oblasti může sloužit diferenční rovnice v normálním tvaru s počátečními podmínkami.

(2.1)

Klidový ustálený stav (jestliže existuje) je pospán vztahy

(2.2)

tj. pro platí

Po úpravě dostaneme

(2.3)

kde je koeficient přenosu.

Diferenční rovnice (2. 1) je lineární, její koeficienty jsou konstantní, hovoříme tedy o stacionárním diskrétním lineárním dynamickém systému.

Statická charakteristika, tedy závislost výstupní veličiny na vstupní veličině v ustáleném stavu je pospána vztahem (2. 3).

Pokud má diferenční rovnice (2. 1) popisovat reálný dynamický systém musí být splněny podmínky fyzikální realizovatelnosti.

	Silná podmínka fyzikální realizovatelnosti
	Slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti	(2. 4)
	Fyzikálně nerealizovatelný systém

2.2 Popis v oblasti komplexní proměnné – diskrétní přenos

Po Z-transformaci diferenční rovnice (2. 1) získáme přenos ve tvaru podílu Z-obrazu (1. 4) výstupního signálu y(kT) k Z-obrazu vstupního signálu u(kT) při nulových počátečních podmínkách.

(2.5)

Statická charakteristika (jestliže existuje) je pospána vztahem

(2.6)

Jmenovatel přenosu G(z) je charakteristický mnohočlen diskrétního lineárního dynamického systému.

(2.7)

kde jsou kořeny charakteristické rovnice.

(2.8)

které nazýváme póly přenosu G(z).

Podmínky fyzikální realizovatelnosti jsou dány vztahy (2. 4).

2.3 Popis v kmitočtové oblasti

Pro popis systému je možno také užít diskrétní kmitočtový přenos

(2.9)

který se používá pro kmitočet

Statická charakteristika (jestliže existuje) je pospána vztahem

(2.10)

Podmínky fyzikální realizovatelnosti jsou dány vztahy (2. 4).

2.4 Popis v časové oblasti – přechodová funkce

Přechodová funkce je odezva dynamického systému na vstupní veličinu ve tvaru Heavisideova jednotkového skoku .

Z-obraz diskrétního jednotkového Heavisideova skoku je

(2.11)

Diskrétní přechodová funkce tedy bude mít tvar

(2.12)

Originál tedy je dán vztahem

(2.13)

Statická charakteristika (jestliže existuje) je pospána vztahem

(2.14)

Podmínky fyzikální realizovatelnosti jsou tedy

	Silná podmínka fyzikální realizovatelnosti
	Slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti

Příklad diskrétní přechodové charakteristiky je na obr. 2. 2.

Obr. 2. 2 Diskrétní přechodová charakteristika

2.5 Popis v časové oblasti – impulsní funkce

Diskrétní impulsní funkce g(kT) je odezva dynamického systému diskrétní jednotkový Diracův impuls . Z-obraz diskrétního jednotkového Diracova impulsu je

(2.15)

Diskrétní impulsní funkce je definovaná vztahem

(2.16)

Příklad diskrétní impulsní charakteristiky je na obr. 2. 3.

Obr. 2. 3 Diskrétní impulsní charakteristika

Statická charakteristika (jestliže existuje) je pospána vztahem

(2.17)

Podmínky fyzikální realizovatelnosti jsou tedy

	Silná podmínka fyzikální realizovatelnosti
	Slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti

2.6 Vztah mezi přechodovou a impulsní funkcí

Stejně jako u spojitých systémů, také u diskrétních systémů existuje spojitost mezi přechodovou a impulsní funkcí.

Ze vztahu pro obraz přechodové funkce (2. 18) vypočteme obraz impulsní funkce (2. 19)

	(2.18)
	(2.19)

Použitím vlastností Z-transformace z tab 1. 1 dostaneme vztahy (2. 20) a (2. 21). Impulsní funkce je tedy dána zpětnou diferencí přechodové funkce (2. 20), přechodovou funkci získáme sumací impulsní funkce (2. 21).

	(2.20)
	(2.21)

2.7 Stavový popis

Stavový model pro diskrétní lineární dynamický systém má tvar

(2.22)

kde

– matice systému (stavová matice systému), rozměr (n x n),
– vektor řízení (stavový vektor řízení), rozměr (n x 1),
– výstupní vektor (výstupní vektor systému), rozměr (n x 1),
– vektor převodu (výstupní vektor řízení), rozměr (1 x 1).

Statická charakteristika (jestliže existuje) je pospána vztahem

(2.23)

Podmínky fyzikální realizovatelnosti jsou tedy

	Podmínka silné fyzikální realizovatelnosti
	Podmínka slabé fyzikální realizovatelnosti

Máme-li diskrétní systém pospaný vnějším popisem, resp. diferenční rovnicí (2. 24) nebo diskrétním obrazovým přenosem G(z) (2. 25)

	(2.24)
	(2.25)

je možno jej převést na vnitřní popis, resp. stavový popis a to několika metodami a to např. [Noskievič, 1992]:

metodou postupné integrace,
metodou snižování řádu derivace,
rozkladem přenosu na dílčí přenosy.

Tak jako je možno vnější popis systému, resp. obrazový přenos G(z) převádět na vnitřní popis, resp. stavový popis, existuje i možnost zpětné operace, tedy převodu ze stavového popisu na obrazový přenos (2. 26).

(2.26)

2.8 Dělení doskrétních dynamických systémů

Diskrétní dynamické systémy lze rozdělit na tři typy těchto systémů a to P (proporcionální), S (sumační) a D (diferenční). Typ systémů lze určit ze statické charakteristiky, obrazového přenosu G(z) a průběhu přechodové charakteristiky .

Pro připomenutí může být uvedeno, že statická charakteristika je závislost výstupní veličiny y na vstupní veličině u v ustáleném stavu.

2.8.1 Proporcionální dynamický systém

Statická charakteristika

V případě proporcionálního systému statická charakteristika existuje (obr. 2. 4) a je definovaná

(2.27)

kde

(2.28)

Obr. 2. 4 Statická charakteristika proporcionálního dynamického systému

Obrazový přenos

Při určování typu systému vycházíme z obrazového přenosu G(z) (2. 29).

(2.29)

O proporcionální dynamický systém se jedná v případě, že nelze z čitatele ani jmenovatele vytknout výraz , popř. .

Přechodová charakteristika

Přechodová charakteristika proporcionálního dynamického systému se ustálí na nenulové konečné hodnotě, resp.

(2.30)

Obr. 2. 5 Přechodová charakteristika proporcionálního dynamického systému

2.8.2 Sumační dynamický systém

Statická charakteristika

V případě sumačního dynamického systému statická charakteristika neexistuje, protože platí.

(2.31)

protože platí

(2.32)

Obrazový přenos

Při určování typu systému opět vycházíme z obrazového přenosu G(z) (2. 33).

(2.33)

O sumační dynamický systém se jedná v případě, že lze ve jmenovateli vytknout výraz , popř. , tedy

(2.34)

kde q je řád sumace.

Přechodová charakteristika

Přechodová charakteristika sumačního dynamického systému se neustálí, resp.

(2.35)

Obr. 2. 6 Přechodová charakteristika sumačního dynamického systému

2.8.3 Diferenční dynamický systém

Statická charakteristika

V případě diferenčního systému statická charakteristika existuje, ale je triviální a je rovna

(2.36)

protože platí

(2.37)

Obr. 2. 7 Statická charakteristika diferenčního dynamického systému

Obrazový přenos

Při určování typu systému opět vycházíme z obrazového přenosu G(z) (2. 38).

(2.38)

O diferenční dynamický systém se jedná v případě, že lze v čitateli vytknout výraz , popř. , tedy

(2.39)

kde r je řád diference.

Přechodová charakteristika

Přechodová charakteristika sumačního dynamického systému se ustálí na hodnotě 0, resp.

(2.40)

Obr. 2. 8 Přechodová charakteristika diferenčního dynamického systému

2.9 Matematické modely – řešené příklady

Příklad 2.1

Pro systém popsaný diferenční rovnicí s nulovými počátečními podmínkami , určete:

a) obrazový přenos,
b) přechodovou funkci v uzavřeném tvaru,
c) impulsní funkci,
d) vykreslete impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot,
e) o jaký typ dynamického systému se jedná a jeho fyzikální realizovatelnost.

Řešení:

ad a) Určíme obrazový přenos:

je splněná silná podmínka fyzikální realizovatelnosti.

ad b) Pro výpočet diskrétní přechodové funkce použijeme vztah (2. 13):

Obraz přechodové funkce rozdělíme na parciální zlomky. Kořeny jmenovatele jmenovatele jsou .

Nyní lze provést rozklad na parciální zlomky a dosazovací metodou dopočítat koeficienty A, B parciálních zlomků:

Za z dosadíme

V souladu s tab 1. 2 můžeme psát

pro a 0 pro .

Nyní vypočteme prvních pět hodnot přechodové charakteristiky:

ad c) Nyní vypočteme prvních pět bodů impulsní charakteristiky s použitím vztahu (2. 20):

ad d) Dle předešlých výpočtů vykreslíme impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot:

Obr. 2. 9 Impulsní charakteristika z příkladu 2.1

Obr. 2. 10 Přechodová charakteristika z příkladu 2.1

ad e) Nyní určíme typ dynamického systému a jeho fyzikální realizovatelnost:

Přechodová charakteristika se ustálí v hodnotě 0, z toho vyplývá, že se jedná o diferenční dynamický systém.

Dále je možno říci, že je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, neboť pro obě charakteristiky platí .

Příklad 2.2

Pro systém pospaný diferenční rovnicí s nulovými počátečními podmínkami , určete:

a) obrazový přenos,
b) přechodovou funkci
c) impulsní funkci v uzavřeném tvaru,
d) vykreslete impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot.
e) o jaký typ dynamického systému se jedná a jeho fyzikální realizovatelnost.

Řešení:

ad a) Určíme obrazový přenos:

je splněná slabá podmínka fyzikální realizovatelnosti.

Vzhledem k požadavku bodu c) v zadání o uzavřeném tvaru impulsní funkce, vypočítáme nejprve tento bod.

ad c) Určíme impulsní funkci v uzavřeném tvaru:

Nyní vypočteme prvních pět bodů impulsní charakteristiky:

ad b) S využitím vztahu (2. 21) dopočítáme hodnoty diskrétní přechodové funkce:

ad d) Dle předešlých výpočtů vykreslíme impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot:

Obr. 2. 11 Impulsní charakteristika z příkladu 2.2

Obr. 2. 12 Přechodová charakteristika z příkladu 2.2

ad e) Nyní určíme typ dynamického systému a jeho fyzikální realizovatelnost:

Přechodová charakteristika se ustálí na hodnotě 2, z toho vyplývá, že se jedná o proporcionální dynamický systém.

Dynamický systém splňuje slabou podmínku fyzikální realizovatelnosti, neboť obě charakteristiky nezačínají v počátku souřadnicového systému a dále platí n = m = 1.

Příklad 2.3

Pro systém pospaný obrazovým přenosem určete:

a) impulsní funkci,
b) přechodovou funkci
c) vykreslete impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot.
d) určete podmínky fyzikální realizovatelnosti a o jaký typ dynamického systému se jedná.

Řešení:

Převedeme obrazový přenos na diferenční rovnici.

ad a) Určíme hodnoty diskrétní impulsní funkce:

ad b) Pro určení hodnot diskrétní přechodové použijeme vztah (2. 21):

ad d) Dle předešlých výpočtů vykreslíme impulsní a přechodovou charakteristiku pro prvních 5 hodnot:

Obr. 2. 13 Impulsní charakteristika z příkladu 2.3

Obr. 2. 14 Přechodová charakteristika z příkladu 2.3

Z průběhu a vidíme, že tento dynamický systém je nestabilní.

ad e) Nyní určíme typ dynamického systému a jeho fyzikální realizovatelnost:

Protože se jedná o nestabilní systém, jeho typ určíme z přenosu G(z). Ani v čitateli, ani ve jmenovateli přenosu nelze vytknout dvojčlen (z - 1), proto se jedná o proporcionální dynamický systém.

Je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, neboť obě charakteristiky začínají v počátku souřadnicového systému a dále platí n = 2 a m = 1.