Aplikace syntézy řízení na teplovzdušný model

• Návrh regulace soustavy se snímači teploty (Termistory T2, T3, T4)
  
• Návrh regulace soustavy se snímači průtoku vzduchu (Vrtulkový průtokoměr)

(1)

• termistor T2, měřící teplotu vzduchu v bezprostřední blízkosti baňky žárovky je ,

• termistor T3, měřící teplotu baňky žárovky je ,

• termistor T4,měřící teplotu vzduchu v zadní části tunelu je ,

Pro tyto hodnoty a má aproximovaný průběh nejnižší hodnotu přiléhavosti

Pro soustavu s tímto přenosem byly zvoleny, s ohledem na kvalitu regulace pouze dva typy regulátorů, a to I regulátor a PI regulátor

Metoda standardních tvarů

1. I - regulátor
   
   Přenos regulované soustavy (1), přenos regulátoru

.

(2)

Přenos otevřeného regulačního obvodu (otevřené smyčky)

.

(3)

Určení přenosu řízení

.

Stupeň astatismu q = 1, protože lze vytknout s ve jmenovateli , a u je v čitateli a jmenovateli shodný jeden člen.


Určení charakteristického mnohočlenu přenosu řízení

.

(4)

a) Whiteleyho standardní tvary


Pro daný stupeň astatismu q otevřeného regulačního obvodu a řád soustavy určíme z tab. 1. tvar standardního mnohočlenu. Porovnáním tohoto mnohočlenu s mnohočlenem (4) (především jejich koeficientů) určíme optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru.

Tab. 1.Standardní tvary charakteristického mnohočlenu

		(5)
		(6)

Dosazením rovnice (5) do rovnice (6) dostaneme optimální hodnoty integrační časové konstanty pro I regulátor

,

po úpravě

.

Dosazením konkrétních hodnot za a jednotlivých termistorů, dostaneme tyto hodnoty

• pro termistor T2 je
• pro termistor T3 je
• pro termistor T4 je

b) Standardní tvary podle kritéria ITAE


Pro daný stupeň astatismu q = 1 je tvar charakteristického mnohočlenu 2. řádu, u této metody stejný, jako u metody Whiteleyho standardních tvarů. Získáme tedy stejné výsledky jako v bodě a.

2. PI - regulátor
   
   Přenos regulované soustavy (1), přenos regulátoru

.

(7)

Přenos otevřeného regulačního obvodu (otevřené smyčky)

.

(8)

V rovnici (8) byla provedena kompenzace časových konstant, pro zjednodušení výpočtu. Kompenzace se provádí vždy, když jde zjednodušit výpočet a znamená, že neznáme hodnotě časové konstanty regulátoru je přiřazená nejvyšší hodnota ze všech časových konstant regulované soustavy.

Přenos řízení

.

Řád charakteristického mnohočlenu N(s) není odpovídající pro použiti této metody. Tuto metodu lze použít, pro charakteristické mnohočleny 2. a vyššího řádu. Proto se tedy omezíme jen na splnění podmínky stability. V našem případě Stodolové podmínky, která se pro soustavu s přenosem 1. řádu stává nutnou a postačující.


Je-li >0, >0, pak musí být i >0.

Velikost volíme s ohledem na kvalitu regulačního pochodu. (rychlost přechodového děje × maximální velikost překmitu)

Grafická prezentace dosažených výsledků regulace teploty:

Obr. 1. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu s termistory T2, T3, T4 a I regulátorem


Obr. 2. Průběh akční veličiny regulačního obvodu s termistory T2, T3, T4 a I regulátorem

Číselná prezentace dosažených výsledků regulace teploty:

Tab. 2. Zhodnocení výsledků regulace pro metodu standardních tvarů
Pozn.:	Lepší kvality přechodového děje (snížení maximálního překmitu) u termistoru T4 nebylo dosaženo, ani několikanásobným zvýšením integrační časové konstanty .

Metoda optimálního modulu

1. I - regulátor
   
   

   Přenos regulované soustavy (1), přenos regulátoru (2), přenos otevřeného regulačního obvodu (3).

   Přenos řízení použijeme ve tvaru
   

Určení koeficientů  

Dosazením do rovnice vypočteme neznámy parametr ; tzn. Po dosazení a úpravě dostaneme

	,
	,

Dosazením konkrétních hodnot za a dostaneme tyto hodnoty nastavení časové konstanty integračního regulátoru:

• pro termistor T2 je 112s,
• pro termistor T3 je 65,4s,
• pro termistor T4 je 586s.

Protože vypočtené hodnoty , pro daný regulátor a typ soustavy vyšly přibližně stejné jako u metody standardních tvarů, nebudou zde uvedeny grafické průběhy přechodových charakteristik a ani průběhy akčních veličin (tyto průběhy budou podobné, průběhům na obr. 1. a obr. 2).

2. PI - regulátor
   

   Přenos regulované soustavy (1), přenos regulátoru (7), přenos otevřeného regulačního obvodu (8).

   Přenos řízení použijeme ve tvaru
Určení koeficientů :

Dosazením koeficientů do vztahu nelze vypočítat neznámy parametr , protože

Tato metoda není vhodná pro daný typ soustavy a PI regulátor. Seřízení regulátoru se omezí pouze na splnění podmínek stability.

Aby byly splněny podmínky stability musí být parametr . Jeho velikost volíme s ohledem na kvalitu regulačního pochodu. Dostaneme se tedy do situace, kdy známe parametr , a volíme odpovídající . Protože u metody inverze dynamiky řešíme stejný problém, budou i výsledky pro PI regulátor přibližně stejné, jako u této metody.

Metoda simetrického optima

Tato metoda se používá jen u soustav se stupněm astatismu , což regulovaná soustava s termistorem nesplňuje.

Metoda inverze dynamiky

1. Zjistíme, zda náhradní přenosy termistorů (1) jsou již v základním tvaru, a zda vyhovují podmínce pro použití této metody (tvarem přenosu ).

2. Podle tabulky, pro výpočet stavitelných parametrů regulátoru, přiřadíme k soustavě s přenosem odpovídající typ regulátoru a určíme optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru, pro konkrétní , .

3. Analogový PI regulátor vzorkovací perioda ,

4. Vypočteme optimální hodnoty integračních časových konstant dle vztahu

po dosazení

	pro termistor T2 je	(9)
	pro termistor T3 je	(10)
	pro termistor T4 je	(11)



5. Výpočet proporcionálního zesílení regulátoru

   Při výpočtu zesílení regulátoru bereme v potaz velikost dopravního zpoždění. Pro   je   vypočteno ze vztahu

kde je časová konstanta, jejíž volba musí být provedena s ohledem na omezení akční veličiny, resp. maximální stavitelnou hodnotu zesílení regulátoru   .


Obr. 3. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu bez dopravního zpoždění


Hodnota časové konstanty byla zvolena =10s, pro všechny tři snímače teploty, s ohledem na kvalitu regulačního pochodu.

• Pak pro termistor T2 je

• pro termistor T3 je

• a pro termistor T4 je

Grafická prezentace dosažených výsledků regulace teploty:

Obr. 4. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu s termistory T2, T3, T4 a PI regulátorem


Obr. 5. Průběh akční veličiny regulačního obvodu s termistory T2, T3, T4 a PI regulátorem

Číselná prezentace dosažených výsledků regulace teploty:

Tab. 3. Zhodnocení výsledků regulace pro metodu inverze dynamiky

(1)

Pro soustavu s tímto přenosem budou voleny s ohledem na kvalitu regulace pouze dva typy regulátoru, a to PI regulátor a PID regulátor.

1. Určení kritického zesílení regulátoru prostědnictvím simulačního programu SIPRO. Blokové schéma zapojení této simulační úlohy je na obr. 1.

   
   
   Obr. 1. Blokové schéma
   
   

   Pozn.:

   Blok PID je vhodnější nahradit blokem ZES. Touto úpravou úplně eliminuje vliv integrační složky (nastavení maximální možné hodnoty v programu SIPRO nezaručuje odstranění vlivu této časové konstanty). Blok PID byl volen proto, abychom se přiblížili reálným podmínkám.

   
   

   Postupným zvyšováním hodnoty kr (označení proporcionálního zesílení v programu SIPRO) bylo dosaženo hodnoty kr=3,47, při které obvod začal kmitat s konstantní amplitudou A, a s konstantní periodou kmitů =6,05s (obr. 2).

   
   
   
   Obr. 2. Určení kritické periody kmitů
   

2. Po dosazení hodnot (hodnota kr při které obvod začal kmitat) a do empirických vztahů (pro danou metodu), dostaneme optimální hodnoty stavitelných parametrů PI a PID regulátoru.

3. PI - regulátor
   PID - regulátor
   
   

1. Nastavení zesílení regulátoru tak, aby poměr třetí amplitudy a první amplitudy výstupní veličiny soustavy byl v poměru ¼. Pak .

   Zapojení této simulační úlohy je shodné s blokovým schématem na obr. 1.
   
   
   Obr. 3. Určení a z průběhu přechodové charakteristiky vrtulkového průtokoměru
   
   
2. Odečtení hodnot a z průběhu výstupní veličiny soustavy.

   	[V]	[V]	[s]	/
   1,86	2,27	0,57	7,00	1/3,98

   
   

3. Dosazení zjištěných hodnot a do empirických vztahů (pro danou metodu), pro výpočet jednotlivých stavitelných parametrů PI a PID regulátoru.

4. PI - regulátor
   Pro lepší kvalitu přechodového děje bylo zvýšeno na hodnotu = 2 .
   PID - regulátor
   

1. Z grafu přechodové charakteristiky vrtulkového průtokoměru a výpočtem, ze znalosti rovnice tečny procházející inflexním bodem, byly zjištěny tyto parametry regulované soustavy:

   • dopravní zpoždění =,1s,
   • doba průtahu =,0,54s,
   • doba náběhu = 4,20s,
   • zesílení soustavy = 0,92.
   
   Obr. 4. Normovaná přechodová charakteristika vrtulkového průtokoměru
   
   

2. Dosazením těchto hodnot do empirických vztahů (pro danou metodu), dostaneme optimální hodnoty stavitelných parametrů pro jednotlivé typy regulátorů.

3. PI - regulátor
   PID - regulátor
   

1. Dopravní zpoždění regulované soustavy nahradíme Padého rozvojem I řádu
   

   .

   
   Pro snadnější výpočet zavedeme pomocnou proměnnou např.
   

   .

   Dostaneme tedy přenos soustavy ve tvaru
   

   .

   
   
2. PI - regulátor
   
   Přenos regulátoru
   

   .

   
   Přenos otevřeného regulačního obvodu

   .

   
   

   Pozn.:

   Ve jmenovateli jde vytknout s stupeň astatismu soustavy q = 1, lze tedy tuto metodu použít.

   
   Přenos řízení
   po roznásobení
   

.

(2)

Pro výpočet optimálních hodnot stavitelných parametrů regulátoru postačí určení jen těchto čtyř součinitelů (zejména ).

Dosazením součinitelů a do vztahu optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru:


po úpravě
Optimální hodnota tedy je
Hodnoty stavitelných parametrů PI regulátoru po dosazení konkrétních hodnot za , a tedy jsou:



Proporcionální zesílení regulátoru bylo v zájmu lepší kvality regulačního pochodu sníženo na hodnotu = 0,15.

Optimální hodnota integrační časové konstanty

3. PID - regulátor
   Přenos regulátoru
   
   Přenos otevřeného regulačního obvodu
   

   .

   
   

   Pozn.:

   Ve jmenovateli jde vytknout s stupeň astatismu soustavy q = 1, lze tedy tuto metodu použít.

   Přenos řízení

.

(3)

Vyjádření součinitelů a z přenosu (3):


Pro výpočet optimálních hodnot stavitelných parametrů regulátoru postačí určení jen těchto čtyř součinitelů (zejména ).

Dosazením součinitelů a do vztahu optimální hodnoty stavitelných parametrů regulátoru:


po úpravě

Optimální hodnota tedy je

.


Hodnoty stavitelných parametrů PID regulátoru po dosazení za , a jsou:

Pro proporcionální soustavu se setrvačnosti 2. řádu s dopravním zpožděním použijeme aproximaci

abychom dostali v požadovaném (standardním) tvaru pro použití této metody. Při použití této aproximace však dostaneme velmi nepřesný výsledek, který neumožňuje použití této metody.

Regulovanou soustavě s přenosem (1), byl přiřazen vhodný PID analogový regulátor. Požadavek na seřízení regulátoru byl takový, aby relativní překmit κ při skokové změně polohy žádané veličiny byl nulový.

Obr. 5. Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu, pro danou metodu syntézy a PI regulátor

Obr. 6. Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu, pro danou metodu syntézy a PID regulátor

Tab.4. Zhodnocení výsledků regulace průtoku vzduchu

Zpět

---

Zpět na úvod