Matematické metody používané v oblasti automatizace a řízení

Úvod

    Při vyšetřování vlastností dynamického systému a způsobu jeho řízení je potřebné zkoumat, jak působí jedna část systému na jinou část, jaký vliv mají tyto interakce na chování celého systému v daném prostředí a jak zpětně působí systém na prostředí a nebo jiné systémy. Vhodným způsobem zjišťování těchto vlivů je určení matematického popisu reálného systému – tvorba jeho matematického modelu, který má být rovnocenný s reálným objektem [Alexík, M. a Juríček, J. 1988].

    Je zřejmé, že všechny reálné soustavy, které disponují zásobníkem některé formy energie, mají zpožděnou odezvu na změnu některé veličiny v reálné soustavě vlivem dynamické setrvačnosti. Jejich chování je z matematického hlediska popsané systémem diferenciálních rovnic. Dynamické soustavy, které jsou popsány soustavou lineárních diferenciálních rovnic, nazýváme lineární. Platí pro ně princip superpozice. Systém může být popsán také jen v diskrétních časových okamžicích, pak mluvíme o diskrétních lineárních systémech a o diferenčních rovnicích [Švarc, I. 1992].

    Pří popisu, analýze a syntéze spojitých a diskrétních lineárních systémů řízení jsme nuceni řešit často velmi složité diferenciální popřípadě diferenční rovnice. Ke zjednodušení těchto operací nám slouží L- a Z-transformace[Vítečková, m. 1995].

                     Obr. 1 Obecné schéma řešení problému pomocí transformace

    Prostor originálů v našem případě bude časová oblast a prostor obrazů bude oblast komplexní proměnné. Za složité problémy v časové oblasti budeme považovat matematické operace, jako jsou např. derivování, resp. diferencování a integrování, resp. sumování. Těmto operacím v oblasti komplexní proměnné odpovídají jednoduché algebraické operace násobení a dělení komplexními proměnnými. Stejně tak řešení lineárních diferenciálních, resp. diferenčních rovnic v časové oblasti odpovídá v oblasti komplexní proměnné řešení algebraických rovnic.