Metody identifikace systémů z přechodových charakteristik

          Identifikace systémů pomocí aproximace změřených přechodových charakteristik patří mezi deterministické metody. Použití je vhodné, je-li šum na výstupu měřené soustavy zanedbatelný.
 

Aproximace proporcionální soustavou se setrvačností 1.řádu

Aproximace přechodové charakteristiky s kmitavým průběhem

Aproximace přechodových charakteristik s aperiodickým průběhem - Strejcova metoda

Vyhodnocení přechodové charakteristiky integrační soustavy

Vyhodnocení integrační soustavy se setrvačností

Aproximace odezev derivačních členů

Soustavy s dopravním zpožděním

Aproximace pomocí tečny v inflexním bodě

Aproximace pomocí sečny v inflexním bodě

Aproximace pomocí tečny a sečny v inflexním bodě

Aproximace dvoubodovou metodou - varianta č. 1

Aproximace dvoubodovou metodou - varianta č. 2

Aproximace přenosem 2.řádu

Aproximace tříbodovou metodou

Aproximace metodou ploch

 

 

Aproximace proporcionální soustavou se setrvačností 1.řádu

Proporcionální soustava prvního řádu bez dopravního zpoždění je popsána přenosem:

kde   K - zesílení soustavy, T1 - časová konstanta.


Obr. 1 Aproximace přechodové charakteristiky proporcionální soustavy se setrvačností 1.řádu

Nejdříve zjistíme ustálenou hodnotu výstupní a vstupní veličiny. Jejich podílem získáme zesílení K.

kde u(¥) - ustálená hodnota vstupní veličiny, y(¥) - ustálená hodnota výstupní veličiny.

Časovou konstantu T1 určíme z hodnoty 0,63y(¥)

 

 

Aproximace přechodové charakteristiky s kmitavým průběhem


Obr. 2 Aproximace přechodové charakteristiky s kmitavým průběhem

Přechodová charakteristika s kmitavým průběhem je popsána přenosem:

Parametry tohoto přenosu stanovíme následujícím postupem:

kde υ - logaritmický dekrement útlumu, ξ - součinitel poměrného tlumení, T0 - časová konstanta.

 

 

Aproximace přechodových charakteristik s aperiodickým průběhem - Strejcova metoda


Obr. 3 Přechodová charakteristika s aperiodickým průběhem a s vyznačenou dobou náběhu a dobou průtahu

          Vykazuje-li odezva systému aperiodický průběh, lze ji aproximovat pomocí proporcionální soustavy 2.řádu s rozdílnými časovými konstantami nebo proporcionální soustavou n-tého řádu se stejnými časovými konstantami. Volba soustavy záleží na hodnotě parametru τ, který se vypočte:

kde   Tu - doba průtahu, Tn - doba náběhu.

          Pokud parametr τ je menší než 0,1, volíme pro aproximaci obrazový přenos s rozdílnými časovými konstantami. Pokud je τ větší než 0,1, volíme obrazový přenos se stejnými časovými konstantami. Tedy:
=> aproximujeme přenosem ve tvaru:
=> aproximujeme přenosem ve tvaru:


a) Proporcionální soustava 2.řádu s rozdílnými časovými konstantami


Obr. 4 Aproximace proporcionální soustavou 2.řádu s rozdílnými časovými konstantami

Parametry přenosu určíme následujícím postupem:

  2. Pro hodnotu 0,72y(¥) odečteme z přechodové charakteristiky časový okamžik t1 a vypočteme součet časových konstant T1 a T2 podle vztahu:

  3. Vypočteme časový okamžik t2 podle vzorce:

  4. Z grafu přechodové charakteristiky odečteme hodnotu y(t2).

  5. Podle tabulky 1 určíme poměr časových konstant τ2, kde

  6. Ze známého součtu a poměru časových konstant vypočteme T1 a T2

Tab. 1 Určení poměru časových konstant
y(t2)τ2y(t2)τ2
0,30 0,000 0,22 0,183
0,29 0,023 0,21 0,219
0,28 0,043 0,20 0,264
0,27 0,063 0,19 0,322
0,26 0,084 0,18 0,403
0,25 0,105 0,17 0,538
0,24 0,128 0,16 1,000
0,23 0,154    


 

b) Proporcionální soustava n-tého řádu se stejnými časovými konstantami


Obr. 5 Aproximace proporcionální soustavou 2.řádu se stejnými časovými konstantami

Parametry přenosu určíme následujícím postupem:

  2. Přechodovou charakteristiku normujeme vzhledem k ustálené hodnotě y(¥).

  3. Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme τ podle vztahu:

  4. Podle hodnoty τ určíme z tab. 2 nejbližší vyšší řád n aproximační soustavy a souřadnici inflexního bodu yi.

  5. Pomocí yi určíme v grafu přechodové charakteristiky inflexní bod a odečteme souřadnici ti.

  6. Hodnotu časové konstanty T určíme ze vztahu:
    , resp. pro Td > 0

    7. kde   ti - souřadnice času v inflexním bodě přechodové charakteristiky, Td - časová konstanta dopravního zpoždění, n - řád aproximační soustavy.
Tab. 2 Stanovení řádu n aproximační soustavy a zpřesnění polohy inflexního bodu
n2345678910
τ 0,104 0,218 0,319 0,41 0,493 0,57 0,642 0,709 0,773
yi 0,264 0,327 0,359 0,371 0,384 0,394 0,401 0,407 0,413

 

 

Vyhodnocení přechodové charakteristiky integrační soustavy


Obr. 6 Vyhodnocení přechodové charakteristiky integrační soustavy

Integrační soustava prvního řádu bez dopravního zpoždění je popsána přenosem:

kde   TI - časová konstanta.

Jediný parametr přenosu TI určíme z přechodové charakteristiky z hodnoty y1, kterou odečteme pro časový okamžik t = 1. TI se pak vypočte:

 

 

Vyhodnocení integrační soustavy se setrvačností


Obr. 7 Vyhodnocení přechodové charakteristiky integrační soustavy se setrvačností

Integrační soustava prvního řádu se setrvačností bez dopravního zpoždění je popsána přenosem:
jehož parametry stanovíme následujícím postupem:

  1. Z grafu přechodové charakteristiky odečteme hodnoty t0, y(t0), 1/TI

  2. Vypočteme pomocnou konstantu A:

  3. Z tabulky 3 určíme řád systému n podle konstanty A.

  4. Vypočteme hodnotu časové konstanty T1:

Tab. 3 Stanovení řádu n podle hodnoty konstanty A
n 1 2 3 4
A 0,368 0,271 0,224 0,195

 

 

Aproximace odezev derivačních členů


Obr. 8 Skoková změna vstupního signálu
Obr. 9 Přechodová charakteristika derivačního členu
Obr. 10 Zintegrovaná přechodová charakteristika derivačního členu
Derivační přenosové členy jsou popsány přenosem ve tvaru:
kde   TD - derivační časová konstanta, Ti - i-tá časová konstanta, i - proměnná vyjadřující pořadová čísla časových konstant, n - proměnná vyjadřující pořadové číslo poslední časové konstanty.

          Přechodová charakteristika pro čas t → ¥ nabývá hodnotu y(¥) = 0. Integrujeme-li přechodovou charakteristiku, můžeme ji považovat za odezvu proporcionálního systému na skokovou změnu u0.

Integrací dostaneme:
Získanou odezvu lze popsat pomocí proporcionálního členu:
jehož konstanty určíme některým z dříve uvedených postupů.

 

 

Soustavy s dopravním zpožděním


Obr. 11 Skoková změna vstupního signálu
Obr. 12 Přechodová charakteristika soustavy s dopravním zpožděním
Přenos soustav s dopravním zpožděním má tvar:
kde   G1(s) - přenos soustavy bez dopravního zpoždění, e - Eulerovo číslo, Td - časová konstanta dopravního zpoždění.

Nejdříve určíme přenos soustavy bez dopravního zpoždění G1(s) a pak určíme .
Toho se využívá u metod, které nepočítají s dopravním zpožděním.

Uvažujme aproximaci přechodové charakteristiky systému s přenosem ve tvaru:

Konstanty tohoto obrazového přenosu se stanoví pomocí níže uvedených metod.

 

 

Aproximace pomocí tečny v inflexním bodě


Obr. 13 Aproximace přechodové charakteristiky pomocí tečny v inflexním bodě

V inflexním bodě přechodové charakteristiky sestrojíme tečnu, pomocí které určíme časové konstanty T1 a Td, viz obr. 13. Zesílení K pak vypočteme podle vztahu:
Takto získané hodnoty parametrů dosadíme do obrazového přenosu ve tvaru:

 

 

Aproximace pomocí sečny v inflexním bodě


Obr. 14 Aproximace přechodové charakteristiky pomocí sečny v inflexním bodě

Tato metoda platí pro všechny členy všech řádů - je tedy velmi univerzální.
Parametry přenosu určíme následujícím způsobem:

  1. Stanovíme inflexní bod 1.

  2. Určíme hodnotu 0,63y¥. Vyznačíme ji na přechodové charakteristice (bod 2) a najdeme pro tento časový okamžik bod 3 na pořadnici ustáleného stavu y¥.

  3. Přímka procházející body 1 a 3 vytne na časové ose okamžik, který definuje dopravní zpoždění Td a časovou konstantu T1. Zesílení K vypočteme podle známého vztahu:

 

 

Aproximace pomocí tečny a sečny v inflexním bodě


Obr. 15 Aproximace přechodové charakteristiky pomocí tečny a sečny v inflexním bodě

Parametry přenosu určíme následujícím postupem:

  1. Nalezneme inflexní bod 1, v němž sestrojíme tečnu.

  2. Určíme hodnotu 0,63y¥. Vyznačíme ji na přechodové charakteristice a najdeme pro tento časový okamžik bod 3 na pořadnici ustáleného stavu y¥.

  3. Přímka procházející body 1 a 3, resp. časovou osou t a bodem 3 definuje časovou konstantu T1. Průsečík tečny procházející inflexním bodem s časovou osou t určuje časovou konstantu dopravního zpoždění Td. Zesílení K se vypočte podle vztahu:

 

 

Aproximace dvoubodovou metodou - varianta č. 1


Obr. 16 Aproximace přechodové charakteristiky dvoubodovou metodou - varianta č. 1

Parametry přenosu určíme takto:

  1. Stanovíme hodnoty y0,7 = 0,7.y(¥), y0,33 = 0,33.y(¥) a jim odpovídající časové okamžiky t0,7 a t0,33.

  2. Z hodnot t0,7 a t0,33 vypočteme parametry přenosu podle vztahů:

  3. Zesílení K se vypočte podle vztahu:

 

 

Aproximace dvoubodovou metodou - varianta č. 2


Obr. 17 Aproximace přechodové charakteristiky dvoubodovou metodou - varianta č. 2

Parametry přenosu určíme takto:

  1. Stanovíme hodnoty y0,63 = 0,63.y(¥), y0,28 = 0,28.y(¥) a jim odpovídající časové okamžiky t0,63 a t0,28.

  2. Z hodnot t0,63 a t0,28 vypočteme parametry přenosu podle vztahů:

  3. Zesílení K se vypočte podle vztahu:

 

 

Aproximace přenosem 2.řádu

Přechodovou charakteristiku soustavy aproximujeme přenosem ve tvaru:
Abychom stanovili parametry přenosu, postupuje následovně:

  1. Zjistíme časové konstanty t0,33 a t0,7 pro 33% a 70% ustálené hodnoty odezvy systému.

  2. Konstanty modelu určíme podle následujících vzorců:

 

 

Aproximace tříbodovou metodou

Přechodovou charakteristiku soustavy aproximujeme přenosem ve tvaru:
jehož parametry určíme následovně:

  1. Stanovíme časové konstanty pro 9%, 26% a 70% ustálené hodnoty odezvy systému t0,09, t0,26 a t0,7.

  2. Časovou konstantu dopravního zpoždění vypočteme podle vzorce:

  3. Vypočteme koeficienty B a C podle vzorců:

  4. Vypočteme časové konstanty T1, T2 a zesílení K podle vztahů:

 

 

Aproximace metodou ploch

Pomocí metody ploch aproximujeme přechodovou charakteristiku systému pomocí přenosu ve tvaru:
Zesílení K spočítáme podle známého vztahu:
Koeficienty polynomu ve jmenovateli přenosu vypočteme následujícím způsobem:

  1. Vypočteme tzv. momenty Mi podle vzorce:

    kde   i - index.

    Počet momentů musí být roven i řádu náhradního modelu n.

  2. Pomocí momentů se následně vypočítají plochy Si. Jakmile vyjde plocha Si záporná, je nutné výpočet ukončit. Maximální řád modelu je pak určen řádem ještě kladné hodnoty plochy Si.

    .
    .
    .

  3. Vypočteme koeficienty ai:

    4.           Pokud přechodovou charakteristiku před použitím této metody znormujeme, tzn. vydělíme nejvyšší naměřenou hodnotou, pak bude K = 1 a tudíž vypočtená plocha Si bude přímo koeficient ai.

 

 

Zpět na začátek stránky