2       Delta modely

Pomocí delta modelů můžeme provést popis chování lineárních stacionárních dynamických  systémů se vstupní veličinou u(kT) a výstupní veličinou y(kT).

 

Obr. 2-1 LSDS s jedním vstupem a jedním výstupem

2.1    Popis dynamických systémů pomocí delta modelů

2.1.1         Lineární delta diferenční rovnice s konstantními koeficienty

Delta diferenční rovnice jsou určeny pro popis vlastností lineárních stacionárních dynamických systémů (LSDS) v časové oblasti:

(2.1)

kde a _i,b_j jsou konstantními koeficienty

Počáteční podmínky:

       
Celkem tedy máme n+ m počátečních podmínek.

Protože výstupní signál nemůže předbíhat vstupní signál, zavádíme tzv. podmínky fyzikální realizovatelnosti:

Statická charakteristika            .
Pro spojité systémy:     .

2.1.2        D-přenos G(g)

D-přenos popisuje vlastnosti LSDS v oblasti komplexní proměnné g. Je dán poměrem obrazu výstupní veličiny Y(g ) k obrazu vstupní veličiny  U(g ) při nulových počátečních podmínkách.

Provedeme D-transformaci rovnice (2.1), pro nulové počáteční podmínky, dostaneme následující rovnici:

po úpravě:

.
D-přenos má potom tvar:

(2.2)

Počáteční podmínky:                                       nulové
Podmínky fyz. realizovatelnosti:                     
Statická charakteristika:                                  
L – přenos vyjádřený pomocí komplexní proměnné s:

                                                              
Z – přenos vyjádřený pomocí komplexní proměnné z:

                                                                

2.1.3        Diskrétní impulsní (váhová) funkce g(kT)

Diskrétní impulsní funkce g(kT) popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Je to odezva diskrétního dynamického systému na diskrétní vstupní signál ve tvaru diskrétního Diracova impulsu d (kT). Jejím grafickým znázorněním je impulsní charakteristika.

Pro vstupní signál  u(kT) určíme jeho odpovídající obraz U(g) :

Pro obraz výstupní veličiny platí:

.
Vyjádření v diskrétní časové oblasti získáme jako:

(2.3)

Počáteční podmínky:    nulové
Podmínky fyz. realizovatelnosti:           
Statická charakteristika:          

2.1.4        Diskrétní přechodová funkce h(kT)

Diskrétní přechodová funkce popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Je to odezva dynamického systému na vstupní signál ve tvaru Heavisideova skoku. Jejím, grafickým vyjádřením je přechodová charakteristika.

Pro vstupní signál h(kT) určíme jeho odpovídající obraz U(g ):

Pro obraz výstupní veličiny platí:

.
Vyjádření v diskrétní časové oblasti získáme jako:

(2.4)

Počáteční podmínky:    nulové
Podmínky fyz. realizovatelnosti:           

 

Statická charakteristika:          

Vztah mezi impulsní a přechodovou funkcí:

 

v oblasti komplexní proměnné:

       

v časové oblasti:

2.1.5        Diskrétní kmitočtový přenos

Diskrétní kmitočtový přenos popisuje vlastnosti LSDS v kmitočtové oblasti. Jeho grafickým znázorněním je amplitudofázová kmitočtová charakteristika. Diskrétní kmitočtový přenos obdržíme dosazením následujícího výrazu do přenosu G(g ) (2.2) za komplexní proměnnoug.

(2.5)

kmitočtový přenos je tedy dán vztahem:

(2.6)

Vztah (2.5) můžeme dále zjednodušit použitím Padého rozvoje s uvažováním prvních dvou členů

potom:

(2.7)

Počáteční podmínky:    nulové
Podmínky fyzikální realizovatelnosti:    
Statická charakteristika:          

2.1.6        Delta stavový model

Delta stavový model popisuje vlastnosti LSDS v časové oblasti. Na rozdíl od předchozích modelů se jedná o vnitřní popis dynamických systémů. Pro jeden systém můžeme obdržet mnoho různých stavových modelů.

	(2.8)
	(2.9)

kde

 

Rovnice (2.8) je tzv. stavová rovnice, která vyjadřuje dynamiku systému. Rovnice (2.9) je rovnice výstupní.

Počáteční podmínky :x(0), celkem tedy máme n počátečních podmínek

Podmínky fyz. realizovatelnosti:           

Statická charakteristika:          

2.2    Příklady

 

Příklad 1) delta modely

 

Pro lineární delta diferenční rovnici ve tvaru

s nulovými počátečními podmínkami určete

a)                  D-přenos

b)                 diskrétní impulsní charakteristiku

c)                  diskrétní přechodovou charakteristiku

d)                 amplitudofázovou kmitočtovou charakteristiku

e)                  delta stavový model

 

Řešení:

 

a)                  D-přenos:

(2.10)

kde h = 1 + g T

 

b)                 diskrétní impulsní charakteristika:

 

Obr. 2-2 Impulsní charakteristika

 

c)                  diskrétní přechodová charakteristika:

dosadíme z (2.10) a provedeme rozklad  na parciální zlomky:

 

nyní určíme konstanty A, B a C:

 

 

 

 

dosadíme koeficienty A, B a C,  obraz H(g ) zpětně vynásobíme h a provedeme zpětnou D-transformaci:

 

po sečtení dílčích výsledků je výsledný vztah:

 

 

Obr. 2-3 Přechodová charakteristika

 

d)                 amplitudofázová kmitočtová charakteristika:

 

po úpravě dostaneme výsledný vztah:

 

 

Tab. 2-1 Určení průsečíků s reálnou a imaginární osou

 

 

 

Obr. 2-4 Amplitudofázová kmitočtová charakteristika

 

e)                  delta stavový model:

přenos (2.10) upravíme na tvar:

 

(2.11)

pak lze určit delta stavový model přímo z již upraveného přenosu (2.11)