8.1.4 Michajlovovo kritérium stability

Michajlovovo kritérium vychází z charakteristické rovnice (4.8), kterou můžeme upravit na součin kořenových činitelů ve tvaru

.

(8.9)

z něj sestavíme Michajlovovu funkci ve tvaru

.

(8.10)

Ze vztahu (8.10) lze vyjádřit reálnou a imaginární část

.

(8.11)

.

(8.12)

resp.

,

(8.13)

.

(8.14)

Jestliže tedy leží všechny kořeny charakteristické rovnice (4.8) v levé polorovině komplexní roviny, potom platí pro w měnící se od 0 do .

.

(8.15)

Vykreslení Michajlovovy funkce v komplexní rovině se nazývá Michajlovův hodograf. Na základě vztahu (8.15) lze formulovat Michajlovovo kritérium stability lineárních RO: "RO bude stabilní právě tehdy, když Michajlovův hodograf bude začínat na kladné reálné poloose komplexní roviny a proti směru hodinových ručiček projde postupně tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristický mnohočlen uzavřeného RO".

Jestliže prochází hodograf N(jw) počátkem souřadnicového systému, je systém na mezi stability. Pokud hodograf vychází z počátku a pak jeho průběh odpovídá definici, je systém na nekmitavé mezi stability. Jestli průběh hodografu odpovídá definici a projde počátkem pro nenulový kmitočet w>0, je systém na kmitavé mezi stability, viz obr. 8.3.

obr. 8.3. Průběh Michajlovova hodografu

Geometrická interpretace daného kritéria platí i pro systémy s neminimální fází. Pokud však určujeme stabilitu lineárních RO s minimální fází, můžeme využít analytickou formulaci Michajlovova kritéria stability. Určíme Michajlovovu funkci a její reálnou a imaginární část, viz vztahy (8.10), (8.11), (8.12). Vypočítáme kořeny reálné a imaginární části z rovnic

,

(8.16)

.

(8.17)

Pak RO je stabilní právě tehdy, když se kořeny reálné a imaginární části střídají, tzn.

.

(8.18)

Systém je na mezi stability, pokud se některá dvojice kořenů reálné a imaginární části rovnají. V případě, že w_Q1= w_P1= 0, systém je na nekmitavé mezi stability. Jestli se rovná kterákoliv jiná dvojice kořenů, systém je na kmitavé mezi stability.

Zpět na začátek